CORPS (mathématiques)

CORPS (mathématiques)

La structure de corps n’est en fait qu’un cas particulier de la structure plus générale d’anneau ^{[cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES]}; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un élément non nul. La terminologie habituelle sous-entend la commutativité de la multiplication, mais il s’introduit de manière naturelle des corps où la multiplication n’est pas commutative (cf. Quaternions , in ANNEAUX ET ALGÈBRES, chap. 2 et infra , chap. 3). Du point de vue arithmétique, l’étude d’un corps commutatif se caractérise par l’absence d’idéaux non triviaux.

On se limitera ici à la théorie proprement algébrique des corps, mais on rencontre aussi des corps munis de structures additionnelles compatibles avec la structure de corps: les corps ordonnés (cf. nombres RÉELS), les corps topologiques et les corps valués (cf. algèbre TOPOLOGIQUE, théorie des NOMBRES – Nombres p -adiques).

Un sous-ensemble K d’un corps L qui est un corps pour l’addition et la multiplication induites est appelé un sous-corps de L. Pour ne prendre que des exemples bien connus, les nombres rationnels forment un sous-corps Q du corps R des nombres réels, qui est lui-même un sous-corps du corps C des nombres complexes.

Si K apparaît comme sous-corps d’un corps L, on dit aussi que L est une extension de K. On peut alors considérer L comme un espace vectoriel à gauche sur K, l’opération externe n’étant autre que la multiplication à gauche des éléments de L par les éléments de K. Si cet espace vectoriel L est de dimension finie n sur K, on dit que L est une extension finie de K; le nombre n s’appelle le degré de L sur K, et on le note [L: K]. Si M est une extension finie de L, c’est une extension finie de K et on a:

Un homomorphisme f d’un corps K dans un corps L est un homomorphisme d’anneau, c’est-à-dire qui respecte les deux lois additive et multiplicative, avec la condition importante f (1) = 1. Un tel homomorphisme est nécessairement injectif car tout x 0 a un inverse x ^-1, d’où f (1) = f (xx ^-1) = f (x )f (x )^-1 = 1, d’où f (x ) 0; ainsi f identifie K à un sous-corps K = f (K) de L et réalise ainsi L comme une extension de K. Si cette injection est une bijection, f est un isomorphisme . Les isomorphismes d’un corps K sur lui-même, ou automorphismes du corps K, jouent un rôle particulièrement important dans l’étude de la structure du corps (cf. Théorie de Galois ).

1. Exemples

Suffisamment «rigides» pour être maniés et étudiés précisément, les corps constituent à la fois un modèle et un outil qui interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et dans des questions, même relativement élémentaires, de géométrie algébrique, analytique ou projective ou de théorie des nombres. Voici quelques exemples.

Caractéristique d’un corps et corps finis

L’intersection d’une famille de sous-corps d’un corps K est encore un corps. Considérant en particulier la famille de tous les sous-corps de K, on obtient le plus petit sous-corps de K, appelé sous-corps premier K⁰ de K. Notant n .1 la somme de n exemplaires de 1, pour tout entier naturel n , on définit la caractéristique (cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES, chap. 3).

Si n .1 0 pour n 0, on dit que K est de caractéristique nulle. Les n .1 et 漣 (n .1) pour n 捻 N forment donc un sous-anneau de K isomorphe à l’anneau Z des entiers relatifs et le corps K⁰ est isomorphe au corps Q des nombres rationnels. Le corps K est donc une extension du corps des nombres rationnels.

Dans le cas contraire, la caractéristique de K est le plus petit entier strictement positif tel que p .1 = 0. C’est un nombre premier et le corps K⁰ est alors isomorphe au corps fini F^p = Z/p Z des entiers relatifs modulo p (cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES, chap. 3). Ainsi, tout corps de caractéristique p est une extension du corps F^p et deux corps de caractéristiques différentes ne peuvent être extension l’un de l’autre.

Soit K un corps fini. Un théorème dû à J. H. M. Wedderburn affirme qu’un tel corps est nécessairement commutatif. La caractéristique de K est nécessairement un nombre premier p et K est une extension finie du corps premier F^p . Si n = [K: F^p ], alors K est isomorphe à (F^p )ⁿ comme espace vectoriel sur F^p et il a donc p ⁿ éléments. On verra ci-dessous que pour tout entier de la forme p ⁿ , avec n premier, il existe un corps (unique à un isomorphisme près) possédant p ⁿ éléments; on le note F^{p n} .

Corps de nombres

Le corps C des nombres complexes est un exemple bien classique de corps. Les sous-corps de C forment une vaste famille à laquelle appartiennent le corps Q des nombres rationnels (qui est le plus petit) et le corps R des nombres réels. Les corps de nombres algébriques (cf. théorie des NOMBRES - Nombres algébriques) présentent un intérêt tout particulier. Dedekind en donne la description suivante: Soit x un nombre complexe algébrique, c’est-à-dire une racine d’une équation P(X) = 0, où P(X) est un polynôme à coefficients entiers, de degré n irréductible sur le corps Q; alors l’ensemble Q(x ) des nombres complexes de la forme:

où les a ⁱ sont des nombres rationnels quelconques, est un corps. De la définition, il résulte que Q(x ) est un espace vectoriel sur Q de dimension finie n . Inversement, on peut montrer que toute extension finie de Q est isomorphe à une extension de la forme précitée Q(x ). Si bien que l’on peut définir abstraitement les corps de nombres algébriques comme des extensions finies de Q. Ainsi, si, dans l’anneau Q[X] des polynômes à coefficients rationnels, on identifie deux polynômes R(X) et R (X) dont la différence est un multiple d’un polynôme P(X), à coefficients entiers, de degré n , irréductibles sur Q, on obtient, sur l’ensemble quotient Q[X]/P(X) muni de l’addition et de la multiplication induites par celles des polynômes, une structure de corps qui en fait une extension finie de degré n de Q. En choisissant une racine x de l’équation P(X) = 0 dans le corps des nombres complexes, on peut expliciter un isomorphisme de Q[X]/(P(X)) sur Q(x ) défini précédemment: à un polynôme R(X) on associe sa valeur R(x ) en x et, comme deux polynômes congrus modulo P(X) ont même valeur en x , cela définit un homomorphisme:

qui est l’isomorphisme annoncé. La dernière définition des corps de nombres algébriques, qui est, au langage près, celle de Kronecker, est ainsi reliée à celle de Dedekind.

Corps de restes

Le procédé de Kronecker pour définir les corps de nombres algébriques peut être présenté dans un contexte plus général. Un idéal m d’un anneau commutatif unitaire A est appelé idéal maximal s’il n’est contenu strictement dans aucun autre idéal que A lui-même. L’anneau quotient A/m ne possède alors aucun idéal autre que 0 et A/m , car de tels idéaux sont en correspondance biunivoque avec les idéaux de A qui contiennent m . Tout élément non nul x de A/m engendre donc A/m tout entier; il en résulte qu’il existe un élément x ^-1 de A/m tel que xx ^-1 = 1 et que l’anneau unitaire A/m est en fait un corps, le corps des restes de A modulo m .

Nous avons déjà appliqué ce résultat au plus simple de tous les anneaux unitaires: l’anneau Z des entiers relatifs. Les idéaux maximaux de Z sont les idéaux p Z engendrés par un nombre premier p et le corps des restes F^p = Z/p Z possède p éléments. Nous avons ici un premier exemple de corps à un nombre fini d’éléments, ou corps finis . Nous reviendrons sur ces corps (parfois appelés champs de Galois dans la vieille littérature), dont l’importance est essentielle en théorie des nombres.

Dans l’anneau K[X] des polynômes à une variable sur un corps commutatif K, un idéal est maximal si, et seulement si, il est engendré par un polynôme irréductible non constant P(X). Les classes de polynômes modulo P(X) forment donc un corps K[X]/(P(X)). C’est ainsi que le corps des nombres complexes peut être défini, avec Cauchy, comme le corps de restes R[X]/(X² + 1). Si K = Q, on retrouve les corps de nombres algébriques de Kronecker.

Corps de fractions

Tout corps possède la propriété que le produit de deux éléments non nuls est lui-même non nul; il en est de même de tout sous-anneau (c’est-à-dire de tout sous-ensemble du corps qui, pour l’addition et la multiplication induites, est un anneau). Un anneau possédant une telle propriété est appelé un anneau intègre. La construction des nombres rationnels à partir des entiers relatifs suggère un moyen de considérer tout anneau commutatif intègre A comme un sous-anneau d’un corps K. On considère d’abord, sur A 憐 (A 漣0), les lois de composition:

puis on vérifie que la relation d’équivalence 倫, définie sur A 憐 (A-0) par (a ,b ) 倫(a ,b ), lorsque ab = ba , est compatible avec ces lois de composition et que le quotient K est un corps: l’unité est la classe de (a ,a ), et l’inverse de la classe de (a ,b ) existe dès que a n’est pas nul et n’est autre que la classe de (b ,a ).

Il est d’usage de noter a /b la classe d’un couple (a ,b ). L’anneau A s’identifie alors au sous-anneau de K formé des classes du type a /1. Il est à remarquer que cette construction est «universelle»: chaque fois que A sera obtenu comme sous-anneau d’un corps K , le corps K pourra être considéré comme extension du corps K. On dit que K est le corps des fractions de A.

Nous allons appliquer ce qui précède à deux importants cas particuliers. Si K est un corps commutatif, l’anneau K[X] des polynômes:

à coefficients dans K est intègre. Il est alors possible de former le corps des fractions de K[X], noté K(X), et dont les éléments P(X)/Q(X), où P(X) et Q(X) sont deux polynômes, sont appelés fractions rationnelles sur K. Il est facile de généraliser cela au cas de plusieurs variables: on obtient alors le corps K(X¹, X², ..., Xⁿ ) des fractions rationnelles à n variables indéterminées comme corps des fractions de l’anneau intègre K[X¹, X², ...., Xⁿ ] des polynômes à n variables.

De même, l’anneau des séries formelles entières:

à coefficients dans K ^{[cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES]}, que l’on note habituellement K[[X]], est intègre. Il est donc de nouveau possible de former le corps K((X)) des fractions de K[[X]]. Si l’on remarque que les séries formelles entières dont le terme constant a ⁰ n’est pas nul sont inversibles dans K[[X]], on voit que toute série formelle entière non nulle peut se mettre, d’une façon unique, sous la forme Xⁿ S(X), où S(X) est une série formelle entière inversible. Pour construire le corps K((X)), il suffit donc de savoir effectuer la division par les monômes Xⁿ . Il en résulte immédiatement que le corps K((X)) peut être décrit comme l’ensemble des séries formelles:

(où la notation n » 漣 秊 signifie que, pour n inférieur à un certain entier relatif n (S), on a a ⁿ = 0) muni des lois d’addition et de multiplication qui prolongent celles des séries formelles entières:

Corps de fonctions algébriques

La géométrie algébrique fournit de nombreux exemples de corps. Nous nous limiterons ici à des indications élémentaires.

Une sous- variété algébrique affine de l’espace vectoriel Cⁿ des suites (x ¹, x ², ..., x ⁿ ) de n nombres complexes est définie comme l’ensemble V des points (a ¹, a ², ..., a ⁿ ) de Cⁿ qui vérifient un certain nombre d’équations:

où les Pⁱ (X¹, X², ..., Xⁿ ) sont des polynômes à coefficients complexes. Un polynôme S(X¹,X²,...,Xⁿ ) à coefficients complexes définit une fonction à valeurs complexes sur Cⁿ et, par restriction, sur V. On considérera comme équivalents deux polynômes qui prennent la même valeur aux points de V. L’ensemble des classes d’équivalence, noté C[V], est muni d’une addition et d’une multiplication, déduites de celles des polynômes, qui en font un anneau, et ses éléments peuvent être considérés comme des fonctions sur V à valeurs complexes.

Si V n’est pas la réunion de deux sous-variétés V et V distinctes d’elle-même, on dit qu’elle est irréductible . Dans ce cas, l’anneau C[V] est intègre, et le corps des fractions, qui est noté C(V), peut être vu comme un corps de fonctions sur V, à valeurs dans la droite projective complexe (ensemble obtenu par l’adjonction à C d’un point «à l’infini»). Les éléments de C(V) sont appelés des fonctions algébriques sur V.

2. Théorie élémentaire des corps commutatifs

Adjonction, extensions simples

Soit L un corps et K un sous-corps de L. Pour tout sous-ensemble S de L, l’intersection des sous-corps de L qui contiennent K et S est un sous-corps de L, que l’on appelle le sous-corps obtenu par adjonction de S à K, et que l’on note K(S). Si K(S) = L, on dit que S est un système de générateurs de L sur K. Un cas particulier important est celui où S est réduit à un seul élément x : l’extension obtenue est notée K(x ), et on dit que c’est une extension simple de K. En effet, toute extension L d’un corps K peut être obtenue par adjonctions «répétées» d’un élément (lorsque L possède un système S fini ou dénombrable de générateurs, l’expression «répétées» a le sens classique; pour la définir dans le cas général, il faut faire une récurrence transfinie après avoir muni S d’un bon ordre, ce qu’autorise l’axiome de Zermelo).

Soit L une extension simple d’un corps K, et soit x un générateur, c’est-à-dire que L = K(x ). On peut faire un raisonnement tout à fait parallèle à celui qui a été fait à propos de la caractéristique. En effet, deux cas se présentent:

– Les monômes x ⁿ sont linéairement indépendants sur K, c’est-à-dire qu’une relation telle que:

avec les a ⁱ dans K, n’est possible que si a ⁰ = a ¹ = a ² = ... = a ⁿ = 0. Le corps K(x ) est alors isomorphe au corps K(X) des fractions rationnelles sur K. On dit que x est transcendant et que K(x ) est une extension transcendante simple de K. Évidemment, tout élément y de K(x ) qui n’appartient pas à K est transcendant sur K et on a K(y ) = K(x ). Les exemples classiques de nombres transcendants sur Q sont ceux de e = 2,718 28..., base des logarithmes népériens, et 神 = 3,141 59..., rapport de la circonférence d’un arc à son diamètre (cf. nombres TRANSCENDANTS).

– Il existe un polynôme non constant, que l’on peut supposer irréductible, P(X), à coefficients dans K tel que P(x ) = 0. Le corps K(x ) est alors isomorphe au corps de restes K[X]/(P(X)). On dit que x est algébrique sur K et que K(x ) est une extension algébrique simple de K. Si le polynôme P(X), que l’on appelle polynôme minimal de x , est de degré n , (1, x , x ², ..., x ^n-1 ) est une base de K(x ) sur K et on a donc [K(x ): K] = n .

Extensions algébriques, bases de transcendance

On peut généraliser ce qui vient d’être dit au précédent paragraphe. Un élément x d’une extension L d’un corps K est algébrique s’il vérifie une équation algébrique à coefficients dans K:

ou, en d’autres termes, si l’extension simple K(x ) de K est algébrique. Si tous les éléments de L sont algébriques sur K, on dit que L est une extension algébrique de K. Ainsi en est-il d’une extension algébrique simple. On peut montrer facilement que toute extension algébrique engendrée par un nombre fini d’éléments est finie. La réciproque étant claire, il n’y a pas lieu de distinguer les extensions finies de celles que l’on appelle parfois extensions algébriques finies .

Revenons maintenant au cas général d’une extension quelconque L d’un corps K. Un sous-ensemble S de L est algébriquement indépendant sur K, par définition, si, pour tout sous-ensemble fini (s ¹, s ², ..., s ⁿ ) de S, il n’existe aucun polynôme à coefficients dans K non nul P(X¹, X², ..., Xⁿ ), tel que P (s ¹, s ², ..., s ⁿ ) = 0. Le corps K (s ¹, s ², ..., s ⁿ ) engendré sur K par les s ⁱ est alors isomorphe au corps des fractions rationnelles à n variables sur K, K(X¹, X², ..., Xⁿ ). Une base de transcendance de L sur K est un sous-ensemble T de L, algébriquement indépendant sur K, et tel que L soit une extension algébrique de K(T). On démontre qu’il existe toujours de telles bases de transcendance et que deux bases quelconques ont le même nombre d’éléments; on appelle ce nombre le degré de transcendance de L sur K. Une extension est algébrique si, et seulement si, son degré de transcendance est nul.

Nous avons parlé plus haut du corps C(V) des fonctions algébriques rationnelles sur une sous-variété algébrique V de Cⁿ . Le degré de transcendance de C(V) sur C est égal à la dimension de V considérée comme variété analytique complexe (dimension elle-même égale à la moitié de la dimension de V considérée comme variété différentiable, mais cela est une autre histoire!). En particulier, si V est une courbe, le degré de transcendance est 1. On appelle parfois une extension de degré de transcendance 1 de C, et plus généralement d’un corps K, un corps de fonctions sur K.

Corps algébriquement clos, clôture algébrique, corps de rupture

Une équation algébrique à coefficients dans un corps K n’admet pas nécessairement de racine dans K. Ainsi, l’équation à coefficients réels X² + 1 = 0 n’a pas de racine réelle. De même, dans Z/2Z, le polynôme X² + X + 1 prend la valeur 1 sur les deux éléments 0 et 1 et n’a donc aucun zéro. Si un corps K est tel que tout polynôme à coefficients dans K admette une racine dans K, on dit qu’il est algébriquement clos . Un tel corps ne saurait avoir d’extension algébrique propre; inversement, un corps qui n’admet pas d’extension algébrique propre est algébriquement clos. Dans un corps algébriquement clos, un polynôme non constant se décompose en un produit de facteurs (irréductibles) du premier degré. Un théorème, démontré par Gauss (cf. nombres COMPLEXES), montre que le corps C des nombres complexes est algébriquement clos. Le mathématicien allemand Steinitz, qui a exposé vers 1910 une nouvelle théorie des corps commutatifs, a démontré que tout corps K admettait au moins une extension K 漣 qui soit algébrique sur K et algébriquement close. On appelle une telle extension une clôture algébrique de K. Si K 漣¹ et K 漣² sont deux clôtures algébriques de K, il existe un isomorphisme de K 漣¹ sur K 漣² qui laisse fixe chaque élément du sous-corps K, si bien que, dans la pratique, on ne les distingue pas. Le corps C est algébrique sur R et est donc une clôture algébrique de R; mais ce n’est pas une clôture algébrique de Q, car des éléments tels que 神 et e sont transcendants sur Q. Le sous-corps Q 漣 de C, formé par l’ensemble des nombres complexes algébriques sur Q, est algébriquement clos, et, comme, par définition, il est algébrique sur Q, il en est une clôture algébrique.

Pour le corps fini F^p , on a:

(cf. Théorie de Galois ).

On connaît aussi la structure de la clôture algébrique du corps K((X)) des séries formelles à coefficients dans un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle. Elle s’obtient par une méthode analogue à F

où K((X^1/n )) est l’extension de degré n de K((X)) obtenue en adjoignant les racines de l’équation algébrique Tⁿ 漣 X = 0. Ces corps sont appelés corps de Puiseux.

Étant donné un corps K, K 漣 une clôture algébrique de K, les racines dans K 漣 d’un polynôme P(X) à coefficients dans K engendrent sur K un corps K^P. Tout corps dans lequel P(X) se décompose en facteurs du premier degré peut être considéré comme une extension de K^P: on dit que K^P est un corps de rupture pour le polynôme P(X). Comme le corps K^P est engendré par un nombre fini d’éléments algébriques sur K, c’est une extension finie de K.

Automorphismes, extensions normales, groupes de Galois

Un K-automorphisme d’une extension L d’un corps K est un automorphisme 靖 du corps L tel que, pour tout x dans K, on ait x 靖 = x (nous utilisons la notation exponentielle, et le composé 靖精 de deux automorphismes 靖 et 精 est défini par y size=1^靖精 = (y size=1^靖) size=1^精). Ainsi, tout automorphisme d’un corps K est un K⁰-automorphisme, K⁰ étant le sous-corps premier de K. On notera G(L/K) le groupe des K-automorphismes d’une extension L d’un corps K. Pour tout sous-groupe H de G(L/K), on peut considérer l’ensemble L^H des éléments de L laissés fixes par tout automorphisme appartenant à H. Il est immédiat que L^H est un corps qui contient K. On l’appelle le corps des invariants de H. Voici deux exemples de cette situation:

– La conjugaison complexe 靖 qui, à tout nombre x = a + ib de C, associe le nombre 異 = a 漣 ib , est un automorphisme du corps C. Le groupe H d’automorphismes de C formé par 靖 et l’identité admet R pour corps des invariants.

– Dans un corps K de caractéristique p non nulle, l’application 﨏 de K dans K qui, à tout élément x , associe sa puissance p -ième x ^p est un endomorphisme du corps, que l’on appelle endomorphisme de Frobenius . Le seul point non trivial à vérifier est que:

mais cela résulte du fait que dans la formule du binôme, les coefficients non extrêmes sont divisibles par p puisque p est premier. Lorsque cet endomorphisme est un auto-morphisme, ce qui est le cas pour les corps finis, on dit que le corps K est parfait . On peut alors chercher quels sont les invariants dans K pour le groupe d’automorphismes H engendré par 﨏: ce sont les racines de l’équation: X^p 漣 X = 0; il y en a donc au plus p , et K^H n’est autre que le sous-corps premier K⁰, qui est isomorphe au corps à p éléments Z/p Z.

Il est clair que les K-automorphismes d’un corps L respectent le caractère de transcendance ou d’algébricité sur K des éléments de L. Le dernier point peut être précisé: si x est racine d’une équation algébrique:

irréductible sur K, on a, en posant y = x size=1^靖, 靖 捻 G(L/K):

si bien que x et son transformé x size=1^靖 ont même polynôme minimal (deux éléments algébriques de L qui sont dans ce cas sont dits conjugués sur K).

Une extension algébrique normale L d’un corps K est, par définition, une extension algébrique dans laquelle le polynôme minimal de tout élément x se décompose en facteurs du premier degré (en d’autres termes, L contient tous les conjugués de x dans une clôture algébrique L de L). Il est évident qu’un corps de rupture sur un corps K d’un polynôme P(X) à coefficients dans K est une extension algébrique normale de K. Le groupe G(L/K) d’une extension algébrique normale L d’un corps K, que l’on appelle alors le groupe de Galois de l’extension, opère transitivement dans toute classe d’éléments conjugués, c’est-à-dire que, si x et y sont deux éléments conjugués, il existe 靖 捻 G(L/K) tel que y = x size=1^靖. Lorsque L est le corps de rupture sur K d’un polynôme P(X) à coefficients dans K, le groupe G(L/K) est parfois nommé groupe de l’équation P(X) = 0.

À titre d’exemple, remarquons que le corps Q(³ 連2) n’est pas une extension normale de Q: en effet, 見 = ³ 連2 a deux conjugés 見j et 見j , où j et j sont les racines cubiques non réelles de l’unité. Le corps Q( 見, j ) obtenu par adjonction de j à Q( 見) est un corps de rupture de P(X) = X³ 漣 2, le polynôme minimal de 見, et c’est aussi la plus petite extension de Q( 見) normale sur Q.

Théorie de Galois

Jusqu’à Abel et Galois, le problème central posé par les équations algébriques était celui de leur solution par radicaux, c’est-à-dire l’expression des racines au moyen d’opérations rationnelles et d’extractions de racines ^{[cf. ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES]}. Les Grecs connaissaient déjà des cas particuliers de la formule x = (face=F0019 漣 b 梁 連b ² 漣 4ac )/(2a ) pour la solution de l’équation du second degré ax ² + bx + c = 0, et de semblables formules avaient été trouvées pour les équations du troisième et quatrième degré par J. Cardano, N. Tartaglia et L. Ferrari. Les échecs répétés pour parvenir à une solution dans le cas de l’équation du cinquième degré amenèrent Lagrange (1770) à examiner avec plus de profondeur ce qui permettait d’arriver au but jusqu’au degré 4. C’est ainsi qu’il fut conduit à mettre en évidence certaines fonctions rationnelles des racines qui restaient invariantes par certaines substitutions effectuées sur celles-ci: les résolvantes qui portent son nom. Mais ce ne sera qu’avec Abel, et surtout Galois (1832), que l’on considérera les fonctions rationnelles des racines d’une équation polynomiale P(X) = 0 et les opérations d’addition et de multiplication sur celles-ci. De plus, Galois sut dégager un sous-groupe significatif de groupe de toutes les permutations des racines de l’équation, le groupe de l’équation, et lire sur ce groupe, entre autres choses, la possibilité ou l’impossibilité de résoudre l’équation par radicaux. Son résultat avait pour corollaire le théorème pressenti par Ruffini puis démontré par Abel: l’équation générale du cinquième degré n’est pas résoluble par radicaux. C’est Dedekind, qui a, comme nous l’avons déjà dit, introduit le terme de corps (pour les corps de nombres algébriques), et c’est lui encore qui a présenté le groupe d’une équation comme un groupe d’automorphismes de corps.

Exposés en un langage moderne, les résultats de Galois concernent une extension finie, normale et séparable (une extension algébrique est dite séparable si le polynôme minimal d’un élément quelconque n’a pas de racines multiples: toutes les extensions algébriques d’un corps de caractéristique 0 ou d’un corps parfait sont séparables). Dans la suite, nous dirons qu’une telle extension est galoisienne .

Le premier théorème précise la définition des extensions galoisiennes; une extension finie L d’un corps K, de degré n , est galoisienne si, et seulement si, le corps L^G des invariants du groupe de Galois G= G(L/K) est réduit à K; dans ce cas, le groupe de Galois G est d’ordre n .

Le deuxième théorème a trait à ce qu’on appelle la correspondance de Galois . Une extension galoisienne L d’un corps K étant donnée, l’application de l’ensemble des sous-groupes du groupe de Galois G(L/K) dans l’ensemble des sous-corps de L qui contiennent K, qui, à un sous-groupe H de G(L/K), associe le corps des invariants L^H, est bijective. L’application inverse peut être décrite ainsi: si M est un sous-corps de L qui contient K, l’extension L du corps M est encore normale et séparable, donc galoisienne; son groupe de Galois G(L/M) est un sous-groupe du groupe G(L/K), et l’application MG(L/M) est inverse de l’application HL^H. De plus, un sous-corps M de L qui contient K est une extension galoisienne de K si, et seulement si, le groupe de Galois G(L/M) est un sous-groupe normal de G(L/K) et, dans ce cas, le groupe de Galois G(M/K) s’identifie au groupe quotient G(L/K)/G(L/M).

Il est maintenant possible de donner un sens précis à la «résolubilité par radicaux». Une équation algébrique P(X) = 0 à coefficients dans un corps K de caractéristique 0 est résoluble par radicaux , par définition, si le corps de rupture K^p de P(X) sur K peut être «plongé» comme sous-corps dans un corps L tel qu’il existe une suite de sous-corps de L, L⁰ = K, L¹, ..., L^k-1 , L^k = L, avec Lⁱ⁺¹ = Lⁱ (x ⁱ ), x ⁱ étant racine d’une équation x ⁿⁱ 漣 a ⁱ = 0 avec a ⁱ 捻 Lⁱ . En traduisant cette définition au moyen du dictionnaire que fournit la correspondance de Galois, on obtient assez facilement le critère: la résolubilité par radicaux de l’équation P(X) = 0 équivaut à la résolubilité du groupe de l’équation G = G(K^p/K). Rappelons qu’un groupe G est un groupe résoluble s’il possède une suite de composition:

telle que les quotients Gⁱ /G^i-1 soient des groupes commutatifs.

L’équation générale du n -ième degré: Xⁿ + t ^n-1 X^n-1 + ... + t ¹ X + t ⁰ = 0, à coefficients algébriquement indépendants dans le corps Q(t ⁰, t ¹, ..., t ^n-1 ), a pour groupe le groupe symétrique Sⁿ des permutations de n éléments. Comme on sait que ce groupe n’est pas résoluble lorsque n 閭 5, il est inutile d’espérer une formule de résolution par radicaux des équations de degré supérieur ou égal à 5. La théorie de Galois a permis de ramener le théorème de Ruffini-Abel à un théorème de théorie des groupes.

Signalons pour terminer qu’une extension L d’un corps K est dite cyclique (resp. abélienne , résoluble ) si elle est galoisienne et si son groupe de Galois est cyclique (resp. commutatif, résoluble). L’étude des extensions abéliennes des corps de nombres algébriques constitue l’objet de la théorie du corps de classes , dont l’initiateur fut D. Hilbert (1900) et dont les principaux résultats furent démontrés par T. Takagi et E. Artin, 1920-1930 (cf. théorie des NOMBRES - Nombres algébriques).

Exemple de détermination d’un groupe de Galois

Nous avons déjà considéré le corps de rupture L de P(X) = X³ 漣 2 sur le corps Q des nombres rationnels. Comme d’habitude, L sera vu comme un sous-corps de C. Soit 見 la racine réelle de P(X) = 0. Les conjugués de 見 sont 見j et 見j ², où

sont les racines cubiques non réelles de l’unité. Nous avons donc L = Q( 見, j ). Comme [L: Q] = 6, l’ordre du groupe de Galois G(L/Q) est 6. Il reste donc, pour déterminer complètement ce groupe, à trouver six automorphismes distincts de L. Un automorphisme de L est connu dès que l’on connaît son action sur 見 et j . La conjugaison complexe 靖 échange j et 綾 et laisse fixe 見; l’automorphisme 精 échange j et 綾 d’une part et 見 et 見j de l’autre. Nous pouvons dresser un tableau donnant les images de 見 et j par différents automorphismes:

Dans cet exemple, le groupe de Galois est le groupe de toutes les permutations des racines, mais, en général, c’est seulement un sous-groupe de ce corps, car toute permutation des racines ne se prolonge pas nécessairement en un automorphisme des corps.

Corps finis

Une application intéressante de la théorie de Galois est l’étude et la classification des corps finis. Soit donc F un groupe fini possédant q = p ⁿ éléments (cf. chap. 1). Le groupe multiplicatif des éléments non nuls de F est d’ordre q 漣 1, donc tout élément de ce groupe vérifie x ^q-1 漣 1 = 0 et, par suite, tout élément de F vérifie:

Comme il est clair que les racines de Pⁿ (X) dans une clôture algébrique F 漣^p de F^p forment un corps, le corps à q = p ⁿ éléments F est un corps de rupture sur F^p pour le polynôme Pⁿ (X). Ce qui démontre l’existence et l’unicité, à un isomorphisme près, de corps finis à p ⁿ éléments.

Nous pouvons interpréter ce qui précède en termes de théorie de Galois. Soit F 漣^p une clôture algébrique du corps premier F^p = Z/p Z, et soit 﨏 l’automorphisme de Frobenius qui associe à tout élément x de F 漣^p sa puissance p -ième x ^p . Si Gⁿ désigne le sous-groupe de G(F 漣^p /F^p ) engendré par 﨏ⁿ , le corps des invariants de Gⁿ n’est autre qu’un corps de rupture pour Pⁿ (X) que nous noterons F 漣^{p n} , et qui a p ⁿ éléments. L’automorphisme de Frobenius 﨏, considéré comme un automorphisme de F^{p n} sur F^p , est d’ordre n et il engendre donc le groupe de Galois G(F^{p n} /F^p ). Soit plus généralement m et n deux entiers 閭 1, le corps F^{p m} est extension du corps F^{p n} si, et seulement si, n divise m ; cette extension est alors cyclique de degré m/n et son groupe de Galois est engendré par 﨏ⁿ .

3. Corps non commutatifs

On a examiné jusqu’à présent des corps qui étaient commutatifs, mais l’étude des corps non commutatifs n’est pas d’un moindre intérêt.

Si K est un corps non commutatif, l’ensemble Z des éléments de K qui permutent avec tout élément x , c’est-à-dire tels que xz = zx , est visiblement un corps commutatif que l’on appelle le centre de K. Nous avons déjà signalé l’exemple des quaternions H dont le centre n’est autre que le corps R des nombres réels. Voici un autre exemple dû à Hilbert:

Soit F^q un corps fini à q = p ^r éléments (r 閭 2), si on munit l’ensemble des séries formelles a ⁿ Tⁿ sur F^q de l’addition n »+ 秊

habituelle et d’une multiplication déduite par distributivité et associativité de la règle élémentaire Ta = a ^p T, on obtient un corps non commutatif F ^q ((T)). Il est facile de voir que le centre de ce corps est formé des séries formelles constantes a ⁰ où a ⁰ 捻 F^p et qu’il est donc isomorphe à F^p . Les séries formelles à coefficients dans F^p forment un sous-corps commutatif de F ^q ((T)).

On peut développer au sujet des corps non commutatifs des considérations tout à fait analogues à celles qui ont été faites dans le cas des corps commutatifs. En particulier, on sait définir la caractéristique d’un corps non commutatif, et cette caractéristique n’est autre que celle du centre. De même, si L est un corps non commutatif et K un sous-corps de L, la notion d’adjonction à K d’un sous-ensemble S de L garde tout son sens. Il est à remarquer que si K est commutatif et x un élément de L qui permute avec tout élément de K, le sous-corps K(x ) de L obtenu par adjonction de x à K est encore commutatif, ce qui permet de démontrer l’existence de sous-corps commutatifs maximaux dans L (c’est-à-dire de sous-corps commutatifs qui ne sont contenus strictement dans aucun autre sous-corps commutatif). L’étude des automorphismes des extensions commutatives finies d’un corps commutatif conduit à ce qu’on appelle la théorie de Galois. Mais il existe une théorie de Galois non commutative due à E. Noether et T. Skolem (1928), dont on donne ci-dessous quelques résultats. Si K est un corps commutatif de centre Z, il est facile de mettre en évidence des automorphismes de K qui laissent Z fixe: pour tout élément non nul x de K, l’application y 料 xyx ^-1 de K dans K est un automorphisme 靖^x de K. Les automorphismes de la forme 靖^x sont appelés les automorphismes intérieurs de K. Un théorème de Skolem-Noether assure que, si K est un corps non commutatif de degré fini sur son centre Z, il n’existe pas d’autres automorphismes de K laissant Z fixe que les automorphismes intérieurs. Un autre théorème permet de préciser la structure des corps non commutatifs K de degré fini sur son centre Z. Si L est un sous-corps de K qui contient Z, l’ensemble L des éléments y de K tels que xy = yx pour tout x dans L est un sous-corps de K qui contient Z et que l’on appelle le commutant de L. On voit facilement que, si on répète l’opération, on a (L ) = L. De plus, on a l’égalité [K : Z] = [L : Z] [L : Z]. Il résulte immédiatement des définitions qu’un sous-corps L est commutatif si, et seulement si, L 說 L et que les sous-corps commutatifs maximaux sont ceux pour lesquels L = L . Si bien que, si n est le degré sur Z d’un sous-corps commutatif maximal de K, on a [K : Z] = n ²: le degré d’un corps non commutatif sur son centre est toujours un carré. C’est bien ce qu’on vérifie dans le cas du corps H des quaternions où C est un sous-corps commutatif maximal [H : R] = 4 = 2² = [C : R]².

Signalons enfin que R. Brauer a pu munir l’ensemble Br(Z) des classes d’isomorphisme de corps de centre Z et de degré fini sur Z d’une structure de groupe. Ce groupe, appelé le groupe de Brauer de Z, reflète un grand nombre de propriétés arithmétiques du corps Z, ainsi que l’ont montré H. Hasse et R. Brauer lui-même.

Encyclopédie Universelle. 2012.